Expresión Decimal de un número Racional

Los números Racionales también se pueden representar como números decimales. Por ejemplo el racional 1/4 se puede representar como 0.25. Esta equivalencia sugiere dos formas de trabajar con números racionales: con su representación fraccionaria o con su representación decimal.
Los números racionales que tienen como denominador  un potencia de 10 reciben el nombre de Fracciones Decimales. por ejemplo:




Conversión de una fracción en un decimal:

Para expresar una fracción como un decimal se divide el numerador entre el denominador. Como toda división, el residuo debe ser menor que el divisor, llega un momento en que el residuo es cero o en el que el residuo se repite. Por ejemplo:



Conversión de un decimal en una fracción:

Las expresiones decimales pueden ser: exactas, periódicas puras o periódicas mixtas, según el comportamiento de sus cifras decimales.
-Exactas o finitas: tienen un número limitado de cifras decimales, ejemplo:



-Periódicas puras: son aquellas que tienen una cifra o un grupo de cifras decimales que se repiten indefinidamente, ejemplo:



-Periódicas mixtas: son aquellas que tienen una cifra o un grupo de cifras decimales que se repiten indefinidamente, pero después de una o mas cifras que no se repiten, ejemplo:



En el procedimiento usado para convertir un decimal en una fracción, se presentan dos casos:

Caso 1:

Cuando la expresión decimal es finita, su representación racional esta dada por una fracción decimal cuyo numerador es la misma expresión decimal sin coma y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya tenido la expresión decimal, ejemplo:





Caso 2:

Cuando la expresión decimal es periódica, en este caso se plantean y operan diversas ecuaciones con el fin de escribir dicho decimal como una fracción, asi:


 

Concepto de Número Racional

Existen algunas operaciones que no tienen soluciones en el conjunto de los números Enteros. Por ejemplo:
o      y en general todas aquellas divisiones en las que el dividendo no es múltiplo del     divisor.


Para solucionar estas situaciones se define un nuevo conjunto numérico llamado el conjunto de los números racionales, que se notan con la letra Q y se definen asi:

Número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción. Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan el mismo número racional.

Es decir, todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un número racional.

Ejemplos

-3 es un número entero y racional porque se puede poner en forma de fracción así:

es un número racional porque ya está expresado en forma de fracción.

          

es un número racional puesto que está expresado en forma de fracción, y además como la división es exacta y da 5, también es un número natural o entero positivo.

0,12121212.... es un número racional porque se puede poner en forma de fracción así:

Podemos clasificar los números racionales de la siguiente forma:

 

 Para mas informacion vea el siguiente video:

 

 

 

 

Esta relación permite definir en los números racionales conceptos como los  de Amplificación, Simplificación, Fracciones Equivalentes, y Fracciones Irreducibles.

Fracciones Equivalentes:

Dos fracciones son equivalentes si cumplen con la siguiente condición:

Amplificación de Fracciones:

La amplificación de una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número entero. Se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo:

 

Simplificación de Fracciones:

La simplificación de una fracción consiste en dividir el numerador y denominador entre un mismo número entero, que generalmente será uno de sus factores comunes. Se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo:

Fracciones Irreducibles:

Una fracción es irreducible cuando no hay factores comunes tanto en el numerador como en el denominador, es decir, cuando el mcd del numerador y denominador es 1. Por ejemplo:

 

Clasificacion de los números racionales:

1. Racionales positivos:

Son aquellos en los que el producto de los signos del numerador y el denominador es positivo. Así

2. Racionales negativos:

Son aquellos en los que el producto de los signos del numerador y el denominador es negativo. Así:

3. Racionales nulos:

Son aquellos en los que el numerador es cero y el denominador es cualquier otro número diferente de cero. Así:

 

 

4. Racionales enteros:

Son todos aquellos racionales en donde el denominador es el 1. Así:

Es así como los números enteros están contenidos en los racionales y como los naturales son un subconjunto de los enteros, entonces se presenta la siguiente relación de contenencia entre los conjuntos: